Si de 5 discos en el plano no hay 4 con puntos en común, ¿tiene que haber 2 ajenos?

Question

Disfruté mucho de pensar, aunque fuera sin éxito, en la pregunta Dos discos ajenos en un pentágono convexo de Clemens Huemer. Ahora, como pueden ver en esa liga, Clemens Huemer y Pablo Pérez-Lantero escribieron un lindo artículo contestando la pregunta.

Me sorprendió un poco que su solución requiriera tanta geometría y cálculos y me pregunto si no habrá otra manera de hacerlo. Con ese fin hago esta pregunta:

• Dados 5 discos en el plano tales que no hay 4 de ellos con un punto en común, ¿necesariamente hay dos discos ajenos?

(Es decir, en la pregunta de Clemens Huemer, ¿de verdad es necesario que tomemos discos con diámetros en los lados de un pentágono convexo?)

Más generalmente, podemos preguntar:

• Sea $K$ un convexo en el plano. Dadas cinco copias homotéticas de $K$ (es decir, 5 conjuntos de la forma $\lambda K + \mathbf{v}$ donde $\lambda>0$ y $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$ tales que no hay cuatro con un punto en común, ¿necesariamente hay dos copias ajenas?

Answer 1

La respuesta es negativa: no necesariamente hay dos discos ajenos. Para ello mirar la siguiente figura.

 

 

Saludos a todos!

Comments

Gracias Pablo. Y disculpa que haya editado tu respuesta: intenté (sin lograrlo) poner la imagen visible dentro de la respuesta para comodidad de los lectores (no sé porque no funcionó, tal vez porque la liga es https y no http).

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De nada Omar :)