Sobre escaleras del diablo

Question

Una función $f:\left[a,b\right] \to \mathbb{R}$ es una función singular o escalera del diablo si $f$ cumple las siguientes condiciones:

1. $f$ es continua;
2. $f(a) < f(b)$ o $f(b) < f(a)$;
3. $f$ es no decreciente (no creciente) en $\left[a,b\right]$;
4. Existe un subconjunto $\mathcal{E} \subset \left[a,b\right]$, llamado conjunto excepcional, de medida de Lebesgue $0$ tal que para toda $x \in \left[a,b\right] \setminus \mathcal{E}$ la derivada de $f$ en $x$ existe y es igual a cero.

El ejemplo mas conocido de una escalera del diablo es la transformación que tiene como conjunto excepcional al conjunto de Cantor ternario (aquí un enlace de la construcción http://math.mit.edu/~katrin/teach/18.100/Devil%27s-Staircase.pdf). En este caso, el conjunto excepcional tiene dimensión de Hausdorff positiva. Existen ejemplos, relacionados con sistemas dinámicos con agujeros, donde el conjunto excepcional tiene medida de Lebesgue total (por ejemplo en la siguiente referencia: M. Urbanski, On the Hausdorff dimension of invariant sets for expanding maps of a circle. Ergodic Theory Dynam. Systems 6(2):295-309, 1986.)

Mis preguntas son:

1. ¿Se puede construir una escalera del diablo de tal suerte que el conjunto excepcional sea numerable?
2. ¿Se puede construir una escalera del dlablo de tal manera que el conjunto excepcional sea no numerable y tenga dimensión de Hausdorff igual a cero?
3. ¿Existen ejemplos de funciones similares a la escalera del diablo donde el conjunto excepcional sea un conjunto de Cantor con medida de Lebesgue positiva (aquí una construcción http://planetmath.org/cantorset, relacionada a una pregunta anterior)? 

Answer 1

Sin perder generalidad, digamos que $f$ es no creciente. Por cierto, la condición $f(a) < f(b)$ es importante para que $\mathcal{E}$ no sea vacio, de lo contrario la función constante $f(x) \equiv 666$ seria una escalera del diablo... Tambien voy a asumir que $\mathcal{E}$ es cerrado.

El complemento de $\mathcal{E}$ es unión  de intervalos y por lo tanto es numerable. Llamemos $\mathcal{F}$ la union de los puntos medios de dichos intervalos.

Como $f(a) < f(b)$, la imagen de $f$ es el intervalo $\mathcal{I} := [f(a),f(b)]$, pero de hecho solo necesitamos $f(\mathcal{E} \cup \mathcal{F})$ para cubrir todo $\mathcal{I}$. Ahora, $\mathcal{I}$ no es numerable, asi que $\mathcal{E} \cup \mathcal{F}$ tampoco lo puede ser, y por lo tanto la respuesta a la pregunta 1 es no.

Para la pregunta 2, la respuesta es si pues haces la misma construcción con un Cantor "delgado" de dimensión de Hausdorff 0. Para construir uno, solo necesitas estipular que la proporción de intervalos que se remueve en cada paso de la construcción aumenta con limite 1. Es decir, en cada paso quitas una mayor proporción de los intervalos que van quedando.

Para la pregunta 3, la respuesta tambien es si. Haces lo opuesto, quitando cada vez una proporción menor de lo que queda. Esto te da un Cantor "gordo", con medida positiva, que no resulta en una escalera del diablo de acuerdo con tu definición, pero es una construcción "similar" como pediste.

En ambos casos, la cuestion de como aumentar o disminuir las proporciones de material removido es delicada, pero se puede hacer un pequeño calculo que queda de tarea :)