Sea $(X,f)$ un sistema dinámico discreto, es decir, $X$ es un espacio métrico compacto y $f:X \to X$ una función continua. Supongamos que la entropía topológica de $f$, $h_{top}(f) > 0$.
Por otro lado, sea $$\mathbb{M}(f) = \{\mu \mid \mu \hbox{ es una medida sobre los borelianos de } X, f \hbox{-invariante } \},$$ (todas las medidas en $\mathbb{M}(f)$ son de probabilidad). El principio variacional muestra que $$h_{top}(f) = \sup\{h_{\mu}(f) \mid \mu \in \mathbb{M}(f)\},$$ donde $h_{\mu}(f)$ es la entropía métrica de dicha medida. Una medida $\mu \in \mathbb{M}(f)$ es maximal si $h_{\mu}(f) = h_{top}(f)$. Decimos que un $(X,f)$ es intrinsecamente ergódico si existe una única medida maximal. De hecho si $f$ es expansiva, sabemos que $(X,f)$ tiene al menos una medida maximal.
Se sabe, además, que para ciertos sistemas dinámicos (subshifts) algunas propiedades topologicas implican la ergodicidad intrinseca, por ejemplo:
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Shifts de tipo finito transitivos (Parry 1964);
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Shifts con la propiedad de especificación (Bowen 1974);
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$\beta$-shifts (Walters 1978, Hofbauer 1979).
Mi pregunta es la siguiente: Si asumimos que $(X,f)$ es intrinsecamente ergódico, ¿Qué propiedades dinámicas son consecuencia de la ergodicidad intrínseca?
Por ejemplo, la transitividad no es una de ellas, pero en los ejemplos que conozco donde un sistema dinámico (subshift) no transitivo es intrínsecamente ergódico se necesita que exista un único subconjunto compacto $f$-invariante $A$, donde $f:A \to A$ es transitivo y $h_{top}(f \mid_{A}) = h_{top}(f)$. Si suponemos que $(X,f)$ es además transitivo: ¿Qué otras propiedades dinámicas de $(X,f)$ son consecuencia de la ergodicidad intrínseca?
