Métrica en conjuntos

Question

Hola, no se como atacar el siguiente problema, ¿alguién me podría ayudar?

Es el siguiente.

 

Sea (X,d) un espacio metrico. Demuestrar que:

 

Si A ⊂ B ⊂cer(A)  entonces   d(x,A) = d(x,B) = d(x,cer(A)).

 

* "cer(A)" es la cerradura de A. 

 

Gracias. 

Answer 1

Dado un conjunto $Y$, se define $d(x,Y):=\inf\{ d(x,y) | y \in Y\}$. Así que esto ya te implica que $d(x,\overline{A}) \leq d(x,B) \leq d(x,A)$, pues los ínfimos sólo pueden hacerse más chicos conforme metes más elementos al conjunto. Ahora quieres probar la otra desigualdad. Toma $y\in\overline{A}$ (la cerradura de $A$). Sea $\varepsilon>0$. Sabes que existe $a\in A$ tal que $d(a,y)<\varepsilon$. Entonces
\[

d(x,A)\leq d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)\leq d(x,y)+\varepsilon.
\]

Esto lo puedes hacer para toda $y\in\overline{A}$, así que si tomas el ínfimo también se cumple. Te quedaría entonces
\[

d(x,A)\leq d(x,\overline{A})+\varepsilon.

\]

Pero esto se vale para toda $\varepsilon>0$. Asi concluyes que $d(x,A)\leq d(x,\overline{A})$, y lo demás son detallitos.

Comments

¡Muchas gracias!