Ayuda con demostración de una desigualdad de la función piso

Question

Cómo mostrar que la desigualdad se cumple para $x,y\in\Bbb R$, no se me ocurre algo útil:

$\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor y\right\rfloor+\left\lfloor x+y\right\rfloor\leq\left\lfloor 2x\right\rfloor+\left\lfloor 2y\right\rfloor$

Agradezco su ayuda.

Answer 1

Puedes empezar de la siguiente manera:

Existen $\theta_{x}, \theta_{y} \in [0,1)$ tales que

$x = \lfloor x \rfloor + \theta_{x}$

y

$y = \lfloor y \rfloor + \theta_{y}$.

De esto se sigue que

$\lfloor x+y \rfloor = \left \{
\begin{array}{ccc}
\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor +1 & \mbox{si}& \theta_{x}+\theta_{y} \geq 1\\ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor      & \mbox{si} & \theta_{x}+\theta_{y} < 1.\\
\end{array}
\right.$

Vamos a demostrar la desigualdad en cuestión atendiendo cada uno de los dos casos anteriores por separado.

1. En el primer caso se cumple necesariamente que $\theta_{x}\geq \frac{1}{2}$ o $\theta_{y} \geq \frac{1}{2}$.

Supongamos que tenemos que $\theta_{x}\geq \frac{1}{2}$ (el análisis es totalmente análogo si se tuviera $\theta_{y}\geq \frac{1}{2}$). Entonces,

Subcaso I. Si $\theta_{y}\geq \frac{1}{2}$ entonces, al tenerse que

$1\leq 2\theta_{x}<2$,

$1\leq 2\theta_{y}<2$,

$2x = 2\lfloor x \rfloor + 2\theta_{x}$

y

$2y = 2\lfloor y \rfloor + 2\theta_{y}$

se sigue que

$\lfloor 2x \rfloor = 2\lfloor x \rfloor + 1$

y

$\lfloor 2y \rfloor = 2\lfloor y \rfloor + 1$

y por consiguiente,

$\begin{eqnarray*} \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor &=& (2\lfloor x \rfloor + 1)+(2\lfloor y \rfloor +1)\\&\geq& 2(\lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor)+1\\ &=&  \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+\lfloor x+y \rfloor. \end{eqnarray*}$

Subcaso II. Si $\theta_{y}< \frac{1}{2}$ entonces se sigue cumpliendo que

$\lfloor 2x \rfloor = 2\lfloor x \rfloor + 1$

pero ahora

$\lfloor 2y \rfloor = 2\lfloor y \rfloor$

y en consecuencia,

$\begin{eqnarray*} \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor &=& (2\lfloor x \rfloor + 1) + 2\lfloor y \rfloor\\&=& \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+\lfloor x+y \rfloor. \end{eqnarray*}$

2. En el segundo caso se cumple que $\theta_{x} < \frac{1}{2}$ o $\theta_{y} < \frac{1}{2}$. Supongamos que se tiene de hecho que $\theta_{x} < \frac{1}{2}$. Nuevamente, hay dos sub-casos a considerar:

Subcaso I'. Si $\theta_{y} < \frac{1}{2}$ entonces $\lfloor 2x \rfloor = 2\lfloor x \rfloor$ y $\lfloor 2y \rfloor = 2\lfloor y \rfloor$ y por consiguiente

$\begin{eqnarray*} \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor &=& 2(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor)\\ &=& \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+\lfloor x+y \rfloor.\end{eqnarray*}$

Subcaso II'. Si $\theta_{y} \geq \frac{1}{2}$ entonces $\lfloor 2x \rfloor = 2\lfloor x \rfloor$ y $\lfloor 2y \rfloor = 2\lfloor y \rfloor +1 $ y por consiguiente

$\begin{eqnarray*} \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor &=& 2(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor) +1 \\ &\geq& \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+\lfloor x+y \rfloor.\end{eqnarray*}$

Answer 2

José Hdz ya te dió una respuesta completamente correcta, pero quería comentar que su argumento, lleno de casos y subcasos (que para esta desigualdad me parece inevitable) es el tipo de cosa que es mejor representar gráficamente y dejar que el lector verifique. Yo escribiría la prueba así (y es esencialmente la misma prueba que la que dió José Hdz, excepto que en lugar de tener $\theta_x$ y $\theta_y$ reduzco al caso en que $x,y \in [0,1)$):

Es fácil verficar que la veracidad de la desigualdad no cambia si a $x$ y a $y$ le sumamos enteros arbitrarios, así que basta probarla en el rango $x, y \in [0,1)$. En ese rango las funciones de ambos lados de la desigualdad están dadas por la siguiente gráfica como el lector puede verificar:

Está claro que la función de la izquierda es menor o igual en cada punto que la de la derecha.