operadores limitados

Question

Sea $E$ espacio de Banach. Demostrar que si $T:E\longrightarrow E'$ es un operador linear, tal que $T_{x}(x)\geq 0$,para todo $x\in E$, entonces T es Continuo.

La idea seria usar el Teorema del gráfico cerrado, sólo que estoy sabiendo comu usar   $T_{x}(x)\geq 0$.

Comments

¿$E'$ es el dual de $E$?

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Si, es el dual topológico.

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A ver, para entender la notación, ¿$T_x(y)=(T(x))(y)$? ¿o $T_x(y)=(T(y))(x)$?

Answer 1

Toma $y\in E$ arbitrario entonces si $(x_n,T_{x_n})$ convergen para $(x,l) $ en $E'$, entonces tomando limite tenemos

$$l(x-y)-T_{y}(x-y)\geq0$$ luego toma $y=x+z$ y tendras

$$l(-z)-T_{x+z}(-z)\geq0$$

o que es lo mismo

$$-l(z)+T_{x}(z)+T_{z}(z)\geq0$$

si cambiamos $z$ por $tz$ con $t\in\mathbb{R}$ tendremos una cuadrica que siempre es no negativa por lo que $T_x(z)=l(z)$ y como $z$ es arbitrario sigue que $l=T_x$ y portanto podemos usar el teorema del grafico cerrado.