Teorema de los ceros Aislados

Question

Teorema: Si $f:\triangle \subseteq \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ es holomorfa y no es la función constante igual a $0$, entonces $f^{-1}(\{0\})=\{z: f(z)=0\}$ es discreto y cerrado en $\triangle.$

Nota: $\triangle$ es un dominio.

Hola. La duda que tengo es sobre cómo demostrar que $f^{-1}(\{0\})$ es discreto. Bueno, por definición, un conjunto será discreto, si ninguno de los puntos del dominio es de acumulacion... Pero lo que no entiendo, es qué tiene que ver que la funcion $f$ se anule o no en el punto. Es decir, $f(z_0)=0$ o $f(z_0)\ne 0.$

Comments

Utiliza la serie de Taylor alrededor de $z\in f^{-1}(0)$. Claro que el $0$ no es importante: Si $f$ no es constante entonces $f^{-1}(z_0)$ es discreto (solo considera $f-z_0$)

Answer 1

Muchas Gracias Carlos :) ¿Pero puedes ser más explícito?

Mi profesor lo demostró así:

Sea $z_0\in \triangle$, tal que $f(z_0)=0.$ (No entiendo el por qué de este paso?).

Probaremos que existe $r>0$, tal que $D(z_0,r)\cap f^{-1}(\{0\})-\{z_0\}=\varnothing.$ (En este paso entiendo que se quiere demostrar que el conjunto $f^{-1}(\{0\})$ no tiene puntos de acumulación en $\triangle$ verdad?)

Luego, $f(z)\ne 0, \, (\forall z): 0<|z-z_0|<r$. Sabemos que existe $r>0$, tal que:

$|z-z_0|<r\implies f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n=a_0+a_1(z-z_0)+\cdots +a_p(z-z_0)^p+\cdots$

(¿por qué?)

Puesto que $f$ no es la función nula, existe un menor entero $p$, tal que $a_p\ne 0$, para $p\ge 1.$ (???)

En verdad, le faltan pasos a la demostración de mi profesor, por eso postié el problema, para saber cuál es la conclusión que se debe tener.

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No sé qué pasa con el LaTeX :(. Por favor, si algún moderador puede corregir el error, estaré agradecido. :)

Answer 2

La demostracion que das esta bien. Aqui un par de comentarios a tus preguntas:

> sea $z_0\in\Delta$ tal que $f(z_0)=0$   (No entiendo el por qué de este paso?).

si quieres demostrar que $A\subset X$ es discreto, pues dices sea $x\in A$ y demuestras que puedes encontrar un $r>0$ tal que la bola $B_r(x)$ de radio $r$ y centro $x$ solo intersecta a $A$ en $x$, i.e. $A\cap B_r(x) = \{x\}$.

> Sabemos qu existe $r>0$ tal que:... (serie de Taylor)

Pues esto solo es la definicion de que $f$ es analitica (holomorfa): la funcion es igual a su serie de Taylor.

> Puesto que $f$ no es la función nula, existe un menor entero ...

si todos los $a_i$ fueran cero, entonces la serie de Taylor es constante cero y la funcion es constante cero.

Con esto ya casi terminas. Si $p$ es el menor entero tal que $a_p\neq 0$, entonces

$f(z) = (z-z_0)^p\sum_{i=0}^\infty a_{p+i} (z-z_0)^i = (z-z_0)^p g(z)$.

Ahora como $g(z_0)=a_p\neq 0$, existe una vecindad de $z_0$ tal que $g\neq 0$ en cualquier punto de esa vecindad. Ademas $z_0$ es un cero aislado de la funcion $(z-z_0)^p$.

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Muchas gracias Carlos :). Bueno, ya fue el Certamen de Análisis, y justo salió este problema, lo pude demostrar, aunque igual hay cosas que me quedan dando vueltas, de por qué la demostración tiene que ser así para un conjunto discreto. Créeme que me está costando un poco entender este tipo de demostraciones de Análisis.