CALCULA INTEGRAL $|Z|= 1$ de $(1+z+z^2)·e^{1/z}$

Question

 Estoy intentando hacer la integral a lo largo de la circunferencia unidad de la función $(1 + z + z^2) · e ^ {1/z}$.

Yo he pensado lo siguiente:

Hago el cambio $u = 1/z$ , entones $dz = -du / u^2$, y haciendo los cambios llego a la integral de

$$- [(u^2+u+1) / u^4] · e^u.$$

Esta función tiene un polo de orden 4 en $u=0$, por lo que aplicando el teorema de los residuos es $2·\pi·i · \text{Res} (f;0)$.

Cálculo el residuo que seria  1/ 3! · limite en 0 de (derivada tercera de $(u^2+u+1) · e^u$), que me sale 5/3.

MI SOLUCION FINAL SERIA $-10 \pi i / 3$.

¿Sería correcto el razonamiento? ¿Cómo lo veis?

Comments

El signo que pones en la respuesta final no debe ir pues al hacer la sustitución u=1/z el sentido en que recorres la circunferencia se invierte automáticamente. Una manera de resolver el ejercicio sin hacer muchos cálculos (y evitando la sustitución) es como sigue:

Answer 1

Para $z\neq 0$,

$e^{1/z} = 1+ \frac{1}{z} + \frac{1}{2!z^{2}} + \frac{1}{3! z^{3}}+ \ldots$

y por tanto

$\begin{eqnarray*}f(z)&=&(1+z+z^{2})e^{1/z}\\ &=& \left(1+ \frac{1}{z} + \frac{1}{2!z^{2}} + \frac{1}{3! z^{3}}+ \ldots \right)\\ &+& \left(z+1+\frac{1}{2!z} + \frac{1}{3!z^{2}}+\ldots \right)\\ &+& \left(z^{2} + z + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3! z} + \ldots \right)\end{eqnarray*}$

El residuo de $f$ en $z=0$ es por definición el coeficiente del término $1/z$ en la serie anterior, el cual es $1 + \frac{1}{2!} +\frac{1}{3!}$. Así

$\displaystyle \int_{\gamma} f(z)\, dz = 2 \cdot \pi \cdot i \cdot \mathrm{Res}(f;0) = 2\pi i \left(1 + \frac{1}{2!} +\frac{1}{3!}\right)$

donde $\gamma$ es la circunferencia unitaria con centro en el origen recorrida una vez en sentido positivo.

Comments

Muchas gracias por tu ayuda. En efecto, al hacer el cambio el sentido en el que se recorre la circunferencia cambia. Tu resolución es más rápida y efectiva.