Sobre transformaciones lineales diagonalizables.

Question

Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $n$ y $T:\bigwedge^{n - 1}(V)\rightarrow\bigwedge^{n - 1}(V)$ una transformación diagonalizable. ¿Qué condiciones debe cumplir $T$ para asegurar que existen $v_1,..., v_n \in V$ tales que $v_1 \wedge...\wedge \hat{v_i} \wedge ... \wedge v_n$ son una base de vectores propios de $T$?

Si T mismo está inducida por una función lineal diagonalizable en $V$ entonces sucede lo que estoy diciendo, pero ¿qué otros casos hay? La verdad no tengo idea.