Primero, no creo que tu objetivo sea razonable en el caso en que $\mathbb{K}$ sea el campo de dos elementos (característica 2 no es el problema, realmente es tener solo dos elementos). Si $A$ es un espacio afín sobre el campo de dos elementos, la función que quieres caracterizar es $(0,u,v) \mapsto v$, $(1,u,v) \mapsto u$. Pero para cualquier conjunto $A$, aunque no sea de cardinalidad potencia de dos, la función definida por esas fórmulas debería satisfacer todas los axiomas que pidas.
En cambio si $\mathbb{K}$ tiene un elemento $a \neq 0, 1$, y tienes una función $af$ para $A$ puedes intentar dotar a $A$ de una estructura de espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ eligiendo arbitrariamente un $o \in A$ para que funcione como origen y definiendo $u + v = af(\frac{1}{a}, af(a,u,o), af(\frac{a}{a-1},v,o))$ y $t \cdot v = af(t,v,0)$. Sabrás que tienes suficientes axiomas básicamente cuando puedas probar que con esas operaciones $A$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial (bueno, y que $af(t,u,v) = t \cdot u + (1-t) \cdot v$, que la suma no depende de $a$, etc.)
Propongo como axiomas faltantes:
Para asociatividad de la multiplicación por escalares: $af(st,u,v)=af(s,af(t,u,v),v)$.
Para neutro e inversos aditivos: para cualquier $t \in \mathbb{K}$, $t \ne 0$ y $v \in A$ la función $af(t,-,v) : A \to A$ es una biyección.
Sospecho que eso podría ser suficiente, pero no lo he intentado verificar!
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Como dijo Elías, probablemente falte algo para asegurar la distributividad.
Para distribución sobre sumas de vectores: $af(s,af(t,u,v),w) = af(t,af(s,u,w),af(s,v,w))$.
Para distribución sobre sumas de escalares: $af(r,af(s,u,v),af(t,u,v)) = af(rs+(1-r)t, u, v)$.
