¿Hay una infinidad de tales números?

Question

¿Habrá una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ divide a $n!$?

ayuda: para $n=18$ y para $n=21$ se cumple.

Comments

¿Tienes una solución para este problema? Lo que sí se sabe es que hay una infinidad de números naturales $n$ tales que $n^2+1 \nmid n!$...

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Sí, se supone que hay qué demostrar que hay una infinidad de $n$ tales que $n^2+1$ dide a $n!$.

Answer 1

Sea $n=4k^2+2k+1,$ con $k$ un entero mayor que $1.$ Luego $$n^2+1=2(4k^2+1)(2k^2+2k+1),$$ y como todos los factores del lado derecho de la igualdad son distintos entre sí y menores que $n,$ entonces $n^2+1\mid n!.$

Comments

¡Magnífica solución!

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Gracias Carlos, pero ¿cómo llegaste a la forma de $n$? Con esta solución, este problema no es apto para la docencia.

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@Henry: Algo que se puede hacer para ayudar  a tus alumnos a llegar a una solución como la que da  Carlos es modificar "mañosamente" la sugerencia que das. En vez de poner "Ayuda: para n=18 y para n=21 se cumple" pon "Ayuda: para $n=21 $, para $n=43 $ y para $n=73 $ se cumple". Entonces, cuando alguien te diga que no sabe ni por donde entrarle al problema, tú puedes sugerirle que intente "detectar algún patrón" en la sucesión $21, 43$ y $73$. Algo que siempre "funciona" en preguntas de esa índole, pero donde no hay un patrón "distinguido" o particularmente fácil de detectar, es construir el polinomio de interpolación de Lagrange respectivo; en este caso, se tendría que dar con el polinomio (de grado a lo más $2$) que pasa por los puntos $(1,21), (2,43)$ y $(3,73)$. Wolfram|Alpha dice que el polinomio buscado es en este caso $p(k)=4k^{2}+10k+7$ y el problema original se ha reducido entonces a demostrar que para cada $k \in \mathbb{N}$ se cumple que $(p(k))^{2} + 1$ divide a $(4k^{2}+10k+7)!$ Para hacer esto habrá que utilizar, en algún momento, la siguiente identidad: $(p(k))^{2} + 1 = 2(2k^2+6k+5)(4k^2+8k+5)$.

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Sí, tienes razón José. Lo intentaré (Y) Gracias a ambos.