¿La trascendencia de una sucesión de dígitos es independiente de la base?

Question

Sean $a$ y $b$ naturales mayores que 1. Sea $x$ trascendente. Supongamos que la expresión de $x$ en base $a$ no tiene dígitos mayores que $b-1$. Sea $y$ el número que tiene la misma expresión en base $b$ que $x$ en base $a$.

¿Podemos asegurar que $y$ es trascendente?

Answer 1

Se me hace que esto ha de ser muy difícil, pero que la respuesta es que probablemente no.

Parece que hay bastante gente que cree la siguiente conjetura:

Cualquier número algebraico irracional es normal en cualquier base.

Supongamos de momento la siguiente conjetura mucho más débil:

La expansión en base B de un número algebraico irracional usa todos los dígitos del 0 al B-1.

Ahora toma $b=10$ y considera $y=\sqrt{2}$ (o cualquier otro algebraico irracional y cualquier base $b$, si la conjetura de arriba es válida). Escoge cualquier $a>b$ (y, desde luego, define $x$ como el número cuya expansión en base $a$ es la de $y$ en base $b$). Claramente $x$ es irracional, porque su expansión en base $a$ no es eventualmente periodica. Y como $x$ no usa todos los dígitos en base $a$, si la conjetura es cierta, $x$ debe ser trascendente.