¿Cuántos generadores tiene el siguiente grupo cíclico?

Question

Buenas noches.

El grupo cíclico es $Z_{p^r}$ donde $p$ es $primo$ y $r\in{Z^+}$.

Espero su gran ayuda.

Answer 1

Recuerda que si $n\in \mathbb{N}$ entonces el número de generadores de $\mathbb{Z}_{n}$ es igual al número de núm. naturales en el intervalo $[1,n]$ que son coprimos con $n$ (para demostrar esto lo que tienes que notar es que si $\mathbb{Z}_{n} = \{[0],[1], \ldots, [n-1]\}$ entonces $[a] \in \mathbb{Z}_{n}$ genera a $\mathbb{Z}_{n}$ si y sólo si $(a,n)=1$).

Así las cosas, tenemos que el número de generadores de $\mathbb{Z}_{p^{r}}$ es igual al número de naturales en el intervalo $[1,p^{r}]$ que son coprimos con $p^{r}$. Ese número es

$$p^{r}-p^{r-1}.$$

Dáte cuenta que esa cantidad es simplemente el total de números naturales en $[1, p^{r}]$ menos el número de múltiplos de $p$ en el intervalo.

Comments

Tengo una duda. En el intervalo $[1, p^r]$, los numeros $m$ tales que no cumplen $(m , p^r)=1$ son: $p, p^2, ...,p^r$. Luego tendriamos $r$ numeros. Por lo que la resta sería $p^r - r$ ¿no? Espero su gran ayuda.

---

Te falta considerar varios números, estimado Mario. La lista "completa" de números que no cumplen la condición que mencionas es: $1 \cdot p, 2 \cdot p, 3 \cdot p, \ldots, p\cdot p, \ldots, p^{r-1} \cdot p$.

---

Tienes razón. Muchas gracias por tu gran ayuda, José Hdz.