Demostración en un grupo

Question

Sea $G$ un grupo y sean $a,b\in{G}$. Demostrar que $(a*b)^{-1}=a^{-1}*b^{-1}$ si y sólo si $a*b=b*a$ Espero la gran ayuda de alguien. Gracias de antemano.

Answer 1

Sabemos que $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$  (1).

$(\Longrightarrow)$ Supongamos para la ida que $(a*b)^{-1}=a^{-1}*b^{-1}$, lo que implica usando (1) que $$b^{-1}*a^{-1}=a^{-1}*b^{-1}, $$ multiplicando ambos lados por $b$ por la derecha y luego por la izquierda obtenemos $$a^{-1}*b=b*a^{-1} , $$ ahora multiplicando ambos lados por $a$ por la izquierda y luego por la derecha concluimos que $$b*a=a*b.$$
$(\Longleftarrow)$ Para el regreso ahora supongamos que $a*b=b*a$, entonces $(a*b)^{-1}=(b*a)^{-1}$, pero  usando (1) es directo que $(b*a)^{-1}=a^{-1}*b^{-1}$, por lo que en efecto $(a*b)^{-1}=a^{-1}*b^{-1}$.