Demostrar que es abeliano

Question

Hola. Demostrar que cada grupo $G$ con elemento identidad "$e$" tal que $x*x=e$ para todo $x\in{G}$ es abeliano. Gracias de antemano.

Answer 1

Sean $a, b \in G$. De la hipótesis dada se sigue

$e = (a \ast b) \ast (a \ast b) = a \ast (b \ast (a \ast b))$

y por lo tanto,

$a = a \ast e = (a \ast a) \ast (b \ast (a \ast b)) = e \ast (b \ast (a \ast b)) = b \ast (a \ast b)$.

De esto se sigue a su vez que

$b \ast a = (b \ast b) \ast (a \ast b) = e \ast (a \ast b) = a \ast b$

y la prueba termina.