Demostrar que es un subgrupo

Question

Hola buenas tardes. Si $G$ es un grupo abeliano con elemento identidad "$e$". Demostrar que $H=${$x\in{G}/x^2=e$} es un subgrupo de $G$. Espero la ayuda de alguien. Gracias de antemano.

Answer 1

i) Claramente, el elemento neutro de $G$ pertenece a $H$.

ii) Si $x, y \in H$ entonces $(xy)^2 = (xy)(xy) = x(yx)y = x(xy)y = (x^2)(y^2) = e$ y de esto se sigue que $xy \in H$.

iii) Si $x \in H$ entonces $x^2 = e$ y, por consiguiente, $(x^2)(x^{-1})^2 = (x^{-1})^{2}$. Como $(x^2)(x^{-1})^2 = e$ entonces se tiene que $(x^{-1})^{2}=e$ y de aquí que $x^{-1}\in H$.

La conclusión deseada se sigue ahora de lo establecido en i), ii) y iii).