EDP y transformada de Fourier

Question

Necesito una ayuda o sugerencia pra resolver,  ya me estresé  con este problema.

Quiero demostrar, que si $u\in H^{s}(\mathbb{R}^{n})$ para $s>\frac{n}{2}$, entonces $u\in L^{\infty}$ y

$\left\| u \right\|_{ L^{\infty}} \leq C\left\| u \right\|_{ H^{s}(\mathbb{R}^{n}$

donde C depende de $s$ y $n$.

Answer 1

Haber si no me equivoco puedes hacer lo siguiente:

\begin{eqnarray}

(\int_{\mathbb{R}^n}{\vert \hat{u}(\xi)\vert\ d\xi})^2&\leq&\int_{\mathbb{R}^n}{(1+\vert\xi\vert^2)^s\vert \hat{u}(\xi)\vert^2\ d\xi}\int_{\mathbb{R}^n}{(1+\vert\xi\vert^2)^{-s}\ d\xi}

\end{eqnarray}

donde la ultima integral es finita por ser $s>n/2$. Así $\hat{u}\in L^1$ luego puedes tomar transformada de Fourier inversa que estará en $L^{\infty}$ y las desigualdades son fáciles de obtener usando $$\left\| u\right\|_{\infty}\leq\left\| \hat{u}\right\|_{1}.$$