Numero primos

Question

Bueno no se si sea un problema sencillo, igual no lo he intentado solo se me ocurrio.

Sabemos que si $p\neq{2}$ es un primo lo podemos escribir como $p=m^2+n^2$ ($m,\ n$ enteros positivos) si es congruente a 1 modulo 4 y reciprocamente, y de tales primos existen infinitos, la pregunta es , ¿será posible obtener infinitos primos (de la forma anterio) tales que $m^2,\ n^2$ sean consecutivos, con consecutivos me refiero a que entre estos dos numeros no haya otro cuadrado perfecto.

Comments

Iziro, una pregunta:

Cuando dice: "con consecutivos me refiero a que entre estos dos numeros no haya otro cuadrado perfecto"..¿estaría dando a entender que trabaja con valores enteros de 'm²' y 'n²' (por tanto, también para 'm', 'n')?.... y, en "p² = m² + n²", siendo 'p' un primo impar, se desprendería que |m| y |n| son consecutivos,..¿es esa su idea?

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Todos son numeros enteros positivos
1) Bueno $m,n,p$ desde luego que son enteros positivos, debí haber puesto.
2) en la parte $p^2=m^2+n^2$ si $m^2,\ n^2$; si $m^2,\ n^2$  entonces $m,\ n$ son consecutivos
Quisiera aclarar cuando digo que $m^2,\ n^2$ son consecutivos, por ejemplo
25,36 son consecutivos y tambien 36, 49 pero 25, 64 no lo son.

Answer 1

Hola Iziro: ¡Tu pregunta es una pregunta abierta! Poniendo $m=n+1$, lo que nos gustaría es poder encontrar una infinidad de primos de la forma $2n^2+2n+1$ para $n$ entero. Este es un caso particular de la conjetura de Bunyakovsky (puedes checarla en https://en.wikipedia.org/wiki/Bunyakovsky_conjecture).

A grandes rasgos, lo que dice la conjetura de Bunyakovsky es que si tienes un polinomio suficientemente bonito algebráicamente (positivo, irreducible y que no genere enteros con factores en común), entonces debería de generar una infinidad de primos. El polinomio $p(n)=2n^2+2n+1$ cumple estas condiciones. Nadie conoce un polinomio en una variable de grado $2$ que sea primo para una infinidad de enteros.

Tambien puedes echarle un ojo a esta discusión en Stack Exchange: http://math.stackexchange.com/questions/439934/quadratic-expression-that-generate-primes.

 

Comments

Que bien se ve esto, gracias no tenia idea de esa conjetura, ami se me ocurrió un día ese problema porque hacia cuentas con ese teorema de fermat de cuando un numero es suma de dos cuadrados, y solo trate de modificar, por un rato lo olvide pero ahora de alguna manera se me ocurrio porque no preguntarlo en el foro.

Answer 2

Lo que sí se puede probar es la siguiente:

Afirmación. Hay infinitos primos congruentes con $1$ módulo $4$ que NO son de la forma $m^2 + (m+1)^2$ para algún $m \in \mathbb{N}$.

Demostración. Supongamos que los primos (positivos) congruentes con $1$ módulo $4$ son

$p_{1}<p_{2}<p_{3}<\ldots$

Si suponemos que sólo hay finitos primos congruentes con $1$ módulo $4$ que no se pueden escribir como la suma de los cuadrados de números naturales consecutivos entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cada $k\geq N$ existe $m_{k} \in \mathbb{N}$ tal que

$p_{k} = m_{k}^{2} + (m_{k}+1)^{2}$.

De esto se sigue que

$\displaystyle \sum_{k\geq N} \frac{1}{p_{k}} = \sum_{k \geq N} \frac{1}{m_{k}^{2} + (m_{k}+1)^{2}} \leq \sum_{k \geq N} \frac{1}{(m_{k}+1)^{2}} < \zeta(2)$,

lo cual es absurdo pues es bien sabido que la serie de los recíprocos de los primos positivos congruentes con $1$ módulo $4$ es divergente.