Problema de los enteros

Question

Suponiendo que todo conjunto no vacío de enteros positivos tiene un elemento mínimo, pruébese que

a) Si la proposición P es tal que

1) $P(m_o)$ es cierta.

2) la verdad de $P(m-1)$ implica la verdad de $P(m)$.

entonces $P(n)$ es cierta para toda $n=>m_o$

 

b) Si la proposición P es tal que

1) $P(m_o)$ es cierta

2) $P(m)$ es cierta siempre que $P(a)$ es cierta para toda $a$ tal que $m_o<=a<m$

entonces $P(n)$ es cierta para toda $n=>m_o$.

Answer 1

Primero demostremos el siguiente lema:

Lema. Todo conjunto de enteros no vacío y acotado inferiormente tiene un elemento mínimo.
Demostración.

Sea $A$ un conjunto no vacío de enteros y supongamos que existe un $u\in\mathbf R$ tal que $u\leq a,$ para todo $a\in A.$ Luego, $A$ tiene una máxima cota inferior $\inf A.$ 

Ahora, como $\lceil\inf A\rceil$ ($\lceil x\rceil$ es llamado el techo de $x$ y su existencia depende de la Propiedad Arquimedeana) es el mínimo entero $t$ tal que $t\geq\inf A,$ entonces $\lceil\inf A\rceil\leq a,$ para cada $a\in A,$ por lo que necesariamente $\inf A=\lceil\inf A\rceil$ (esto prueba que $\inf A$ es un entero). Definamos $y:=\inf A=\lceil\inf A\rceil.$

Notando que $a-y+1\geq1,$ para todo $a$ en $A,$ entonces el conjunto $$B:=\{a-y+1:a\in A\}$$ tiene un elemento menor (pues $B\subseteq\mathbf Z^+$ y $B\neq\emptyset$) al cual denotaremos por $n^*.$ Por definición, para todo $a\in A,$ $$n^*\leq a-y+1,$$ lo que implica que $$n^*+y-1\leq a,\hspace{5pt}\forall a\in A,$$ que a su vez implica que $$n^*+y-1\leq y$$ y luego, $$n^*\leq1$$ y como $n^*$ es positivo, concluimos que $n^*=1.$ Esto significa que para algún $\alpha\in A,$ $$\alpha-y+1=1,$$ lo que implica que $\alpha=y,$ por lo que $y\in A$ y además es su elemento mínimo. $\square$

Ahora, demostremos el inciso $a).$ Supongamos (a manera de contradicción) que existe un entero $l\geq m_0$ tal que $P(l)$ es falsa. Luego, el conjunto $F$ de todos los enteros $t\geq m_0$ para los cuales $P(t)$ es falsa es no vacío y por el Lema anterior, tiene un elemento menor $h.$ Luego, claramente $h\geq m_0+1,$ por lo que $h-1\geq m_0$ y la minimalidad de $h$ implica que $P(h-1)$ es verdadera. Pero la condición $2)$ asegura que necesariamente $P(h)$ es verdadera, que contradice al hecho de que $P(h)$ es falsa.

Por lo tanto, necesariamente $P(n)$ es verdadera para todos los enteros $n\geq m_0.$ $\square$

Ahora el inciso $b).$ Sea $Q(n)$ la función proposicional que afirma que $P(k)$ es verdadera para cada $k\in[m_0,n]\cap\mathbf Z.$ Por el inciso $a),$ tenemos que $Q(n)$ es verdadera para todo entero $n\geq m_0,$ por lo que $P(n)$ es verdadera para todo entero $n\geq m_0.$ $\square$

Answer 2

Para el inciso a) considerar