Hola Mario:
Hay muchas maneras de definir a los números complejos. La clásica es como el conjunto $\mathbb{R}^2$, en el cual defines operaciones:
- $(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)$
- $(a, b)\bullet(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$
Esto lo que quiere decir es que estás definiendo operaciones bilineales
$+, \bullet:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$,
con las cuales $(\mathbb{R}^2, +, *)$ es un anillo, el cual resulta ser conmutativo y tener unidad. Observa que realmente sólo agregamos un producto a la estructura aditiva que $\mathbb{R}^2$ ya tiene. La unidad es el par $(1, 0)$. Además, si operas
$(0, 1)(0, 1) = (-1, 0)$,
así que a ese elemento lo denotas por la letra $i$, y del hecho que $(0, 1)(a, 0) = (0, a)$, se sigue que puedes escribir
$(a, b) = (a, 0) + i(0, b)$.
Después, el mapa $a\mapsto (a, 0)$, resulta ser un monomorfismo de campos, así que identificas al par $(a, 0)$ con el número $a$ y así obtienes la clásica notación $a + ib$.
Ahora, lo anterior es una manera de construir los complejos al darte cuenta que $\mathbb{R}^2$ admite, además de su suma usual, una segunda operación que lo vuelve anillo.
Esto muestra que como espacios métricos (topológicos) son exactamente lo mismo, pues la definición de esa estructura depende exclusivamente de la estructura aditiva de $\mathbb{R}^2$ y de las propiedades de los reales. Resulta que, además, el nuevo producto se comporta bien con la norma de $\mathbb{R}^2$ y satisface $|ab| = |a||b|$, pero esto es algo extra que obtienes una vez que defines el producto, antes no tenía sentido.
De la misma forma, no tiene sentido decir que $\mathbb{R}^2$ es un campo a secas si no le has definido la estructura multiplicativa. Así que cuando mencionas "considerandolos como: conjuntos, espacios vectoriales, campos, espacios métricos. " necesitas tomar en cuenta que le tienes que poner la estructura de anillo a $\mathbb{R}^2$ antes de poder compararlo con $\mathbb{C}$, el cual por definición es un anillo, que resulta ser un campo. Espero explicarme bien con esto que acabo de decir.
Ahora, hay otras maneras en que podrías definir a los complejos que no son esta. Por ejemplo, podrías considerar a todos los polinomios con coeficientes reales y considerar el ideal generado por $x^2 + 1$. Quizá ya has escuchado que el anillo cociente $\mathbb{R}[x]/<x^2 + 1>$ es un anillo isomorfo a los complejos. Ahora, para nada los pares ordenados y las clases de equivalencia son el mismo objeto, pero para cuestiones de campos es lo mismo usar uno que otro.
Así que preguntar por la definición formal de los complejos es un poco incorrecto pues hay varias definiciones de lo que podrías llamar los complejos. Lo importante es que todas esas definiciones sean equivalentes (i.e. te den un campo isomorfo, aunque como conjuntos no sean el mismo) y luego trabajes con la que sea más cómodo o natural, de acuerdo a lo que haces. En particular, la notación $a + ib$ es súper cómoda para trabajar y muy sencilla de construir. No necesitas practicamente nada más que saber multiplicar y sustituir $i^2 = -1$, sobre otras posibles definiciones que requieren más conocimiento, aunque no por eso menos importante.
