$\alpha, \beta$ cardinales ¿$2^\alpha=2^\beta\Rightarrow\alpha=\beta$?

Question

Si existe una biyección entre la potencia de $A$ y la potencia de $B$ ¿Se puede asegurar que $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad?

En otras palabras ¿hay logaritmo en los cardinales?

No se me ocurre cómo probarlo o refutarlo. Mi conjetura es que seguramente es un resultado conocido o es de esas cosas que no se pueden probar ni refutar. Espero alguien sepa.

Comments

El siguiente enlace podría serte de ayuda: http://goo.gl/ViRhRf

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Lo es sin duda. :)
Me habría gustado que fuera cierto y con una demostración accesible, pero pues así son las cosas.

Ahora no me queda claro si es equivalente a la hipótesis del continuo generalizada, o dónde está parada esta afirmación con respecto a la hipótesis del continuo y la misma generalizada.

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No hay ninguna relación "fácil" entre tu enunciado y la hipótesis generalizada del continuo. Por ejemplo, es fácil (si se sabe "forcing") producir modelos donde, por ejemplo, $2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}=\cdots=2^{\aleph_n}=\cdots=\aleph_{\omega+1}$ pero $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$ para $\alpha\geq\omega$. Si buscas información (en Google, o pregúntale a alguien que sepa) sobre el Teorema de Easton entonces quizá te quede más claro esto...