Todo subespacio propio de Rn es de medida cero.

Question

¡Buen día!

Tengo un problema que dice:
1) suponer que V es un subespacio propio de $ \mathbb{R}^n $de dimensión n-1 dar una base {$b_1,b_2,\ldots , b_{n-1}$} de V tal que genera a  $\mathbb{R}^{n-1}$. Probar que V es la gráfica de una transformación lineal $T:\mathbb{R}^{n-1}\rightarrow{\mathbb{R}}$.
2) Si $T:\mathbb{R}^n\rightarrow{R}^n$ es una transformación lineal tal que $T(a_1,\ldots , a_i, \ldots , a_j, \ldots , a_n)=(a_1,\ldots , a_j, \ldots , a_i, \ldots , a_n)$ y A es de medida cero, entonces T(A) es de medida cero.
3)Concluir que si  V es un subespacio propio de $\mathbb{R}^n$, entonces V tiene medida cero.

Espero me puedan ayudar, la verdad no hallo cómo  iniciarlo, lo que me doy cuenta es que si pruebo 1) se tiene 3) pues ya demostré que la gráfica de una función de $f:\mathbb{R}^n\rightarrow{\mathbb{R}^m}$ es de medida cero en $\mathbb{R^{n+m}}$

Comments

Disculpa, podrías cambiar los [tex] y [/tex] por los signos de pesos $$, para que pueda ser mas ameno para los que no tenemos vista Tex. Eje: cambiar [tex]\mathbb{R}^n[/tex] por $\mathbb{R}^n$.

---

Ya lo he modificado.

Answer 1

Me parece que no se trata de construir una base. Se puede probar que todo espacio vectorial tiene al menos una base, aunque la prueba requiere de ciertos supuestos de la teoría clásica de conjuntos: Lema de Zorn=Axioma de Elección. Por otra parte, en -casi- cualquier libro de álgebra líneal puedes encontrar la prueba constructiva de que, si $V$ es un espacio vectorial no nulo con un número finito de vectores generadores, entonces $V$ tiene una base finita. Por supuesto, si conoces explícitamente cómo es V, entonces generalmente es fáctible construir -propiamente dicho- una base específica para V con métodos más o menos sencillos del álgebra y geometría. Como sea el caso, en el problema que planteas no parece relevante conocer explícitamente una base para $V$. Asuminos pues que, in abstracto, todo subespacio propio $V$ de $\mathbb{R}^n$ de dimensión $k<n$ tiene una base $\{v_1,...,v_k\}\subset V$ (la dimensión es el tamaño de cualquier base). Definimos pues $T:\mathbb{R}^{k+1}\to\mathbb{R}^n$ como $T(x_1,...,x_k,x_{k+1})=x_1v_1+\cdots+x_kv_k$. Observa que $T$ es líneal y $V=T(\mathbb{R}^k\times\{\overline{0}\})$. Según lo que escribes esto ya resuelve tu problema(?).

Comments

Sí, eso ya resuelve mi problema. ¡Gracias!