Dominio de funcionales con kernel singular [cerrada]

Question

Hola  todos, este post esta relacionado a funcionales definidos en medidas. Considere el siguente funcional

$$\mathcal{W}[\mu]=-\int_{\mathbb{R}^2}{\log\vert x-y\vert\ d\mu(x)d\mu(y)},$$

donde estamos asumiendo  que $-\log\vert0\vert=+\infty$ y a principio $\mu$ es una medida de radon no negativa en $\mathbb{R}$. Es claro que si $\mu$ posee un átomo, es decir, posee medida positiva en algún conjunto unitario de $\mathbb{R}$, entonces el funcional anterior es infinito, tambien es facil construir medidas absolutamente continuas respecto a Lebesgue donde tal funcional es finito.  La question es: existen medidas singulares respecto de Lebesgue (obviamente sin átomos) donde tal funcional es finito? Yo he tratado de construir un ejemplo usando el conjunto de cantor y una medida de Hausdorff apropiada sobre tal para construir tal ejemplo pero no consigo limitar apropiadamente tal integral, aun así creo que si deben existir tales medidas. Saludos.