Cortes de Dedekind - duda acerca de un lema

Question

Estoy trabajando en el Apéndice del capítulo I del libro de análisis matemático de W. Rudin y me ha surgido una pequeña duda: dado un corte positivo $\alpha$ y un racional $x>1,$ ¿cómo se puede mostrar que existe un entero $n$ tal que $x^n\in\alpha$ y $x^{n+1}\notin\alpha$? (este hecho intuitivo lo utilicé para mostrar la existencia del inverso multiplicativo). Estaba pensando en considerar al conjunto $N$ de todos los enteros $n$ tales que $x^n\notin\alpha$ (o al revés), pero realmente no sé cómo mostrar que tiene un elemento menor (o mayor en caso contrario), obviamente lo primero que se me vino a la mente es utilizar el principio del buen orden de $\Bbb N$ y la propiedad arquimedeana, pero no sé cómo (en realidad el principio del buen orden no me asegura que $N$ tiene un elemento menor). .. Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Si $x>1$, entonces $x-1>0$. Usando la propiedad arquimediana, existe un entero $k$ tal que $x-1>\frac{1}{k}>0$, o bien, tal que $x>1+\frac{1}{k}$. Ahora, sea $y\notin\alpha$. Otra vez, por la propiedad arquimediana, existe un entero $m$ tal que $m>y$, y por lo tanto, $m\notin\alpha$. Entonces, $x^{mk}>(1+\frac{1}{k})^{mk}=1+mk(\frac{1}{k})+...+(\frac{1}{k})^{mk}>1+mk(\frac{1}{k})=1+m>m$, de donde $x^{mk}\notin\alpha$. Entonces, el conjunto $S$ de los naturales $n$ tales que $x^n\notin\alpha$ es no vacío, de donde, por el principio del buen orden, tiene un elemento mínimo $N$. Como consecuencia, $x^{N-1}\in\alpha$ y $x^N\notin\alpha$.

Comments

Gracias por la respuesta antes que todo.

Cuando consideras al conjunto $S,$ ¿cómo aseguras que su elemento mínimo $N$ cumple con la propiedad de que $x^{N-1}\in\alpha$ y $x^N\notin\alpha$?, es decir, ¿por qué no puede suceder que exista un entero positivo $k$ tal que $x^{N-k}\notin\alpha$?. La propiedad del buen orden me asegura que $S$ tendrá un elemento menor $N$ que cumple que $x^N\notin\alpha,$ pero eso me dice que pueden suceder dos posibilidades:

$\bullet$ $x^{N-1}\in\alpha,$ con lo cual terminaría.

$\bullet$ $x^{N-1}$ sigue estando en el complemento de $\alpha$ pero $N-1$ es negativo.

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Ok, ya veo el problema: digamos entonces que quedó demostrado el lema para el caso en el que $1\in\alpha$, ¿sale?

Veamos qué pasa cuando $1\notin\alpha$. Como $\alpha$ es un corte positivo, existe $r\in\alpha$ tal que $r>0$. La propiedad arquimediana nos garantiza entonces que existe un entero $m$ tal que $r>\frac{1}{m}>0$. Definiendo $k$ como en la respuesta anterior, obtenemos que $0<\frac{1}{x^{mk}}<\frac{1}{m}$, de donde $x^{-mk}\in\alpha$. Esto quiere decir que el conjunto $S$ de los naturales $n$ tales que $x^{-n}\in\alpha$ es no vacío, y por lo tanto tiene un elemento mínimo: llamémosle $N$. Entonces, $x^{-N}\in\alpha$ y $x^{-(N-1)}\notin\alpha$.