Ecuación lineal de congruencia

Question

Hola, quiero si me podeis ayudar con la solución de esta ecuación. Resolver la ecuación $8x\equiv 10\pmod 6.$

 

Es fácil al parecer, pero me hago líos al calcular la solución particular... ¿Y luego de tener la solución particular, el conjunto de soluciones es? La ecuación tiene solución, pues $mcd(8,6)=2\mid 10.$

Answer 1

Bueno, en general, si la congruencia $ax\equiv b\pmod n$ es soluble (eso es, si $\mathrm{mcd}(a,n)\mid b$) entonces todas las soluciones son $x_0,x_0+(n/d),\ldots,x_0+(n/d)(d-1)$ donde $d=\mathrm{mcd}(a,n)$ y $x_0$ es una solución.

En tu caso particular puedes ver que $2$ es una solución a tu congruencia por lo que todas las soluciones son $2$ y $5.$

Comments

Muchas gracias Carlos. Emm, una pregunta... ¿cómo sabes que $x_0=2$ es la única solución de la ecuación?, porque yo podría decir $x_0=\dfrac{1}{2}$ como solución particular, pues $8\cdot \dfrac{1}{2}=4\equiv 10\pmod 6.$ Y sin caer en ambigüedades, la solución general de la ecuación sería $S=\{1/2,7/2\}.$

Otra pregunta, mi Profesor me sugiere que use el Algoritmo de Euclides para hallar la solución particular, porque se tiene $8x-6y=10$, que es una ecuación diofántica lineal, y si no me equivoco, esa ecuación debe resolverse siempre por el Algoritmo de Euclides.

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En este caso quieres resolver la congruencia en enteros. Puedes generalizar el concepto a anillos conmutativos, pero no creo que éste sea el caso. Ahora, lo que hice fue calcular todas las soluciones en el conunto de residuos módulo $6.$ Por último, sí, puedes utilizar el algoritmo de Euclides para hallar una solución particular, más no es necesario. Yo te mencioné unmétodo general para hallar todas las soluciones inequivalentes a partir deuna solución particular, que, en algún caso, será mejor hallarla utilizando el algoritmo euclídeo que simple tanteo.