Problema interesante sobre derivadas, parte 2

Question

¿Existe alguna función $f:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R$ tal que

$f(x)f'(x)f''(x)f'''(x)<0$

para todo $x\in\mathbb R$?

Answer 1

En principio podemos afirmar que la condición

$$f(x) \, f'(x) \, f''(x) \, f'''(x) <0$$

para todo $x\in\mathbb R$

implica que ni $f$ ni sus tres primeras derivadas cambia de signo. Si alguna de ellas lo hiciera, por el teorema del valor intermedio, existiría un x tal que la función dada sería cero, esto anula el producto y no cumpliría la condición de menor estricto.
Por tanto, cada una de esas funciones es positiva para todo $R$ o negativa para todo $R$. Se sigue de ello, que $f$ tiene que ser o creciente o decreciente (estricto) para todo $R$; esto evitaría un cambio de signo la primer derivada. Este criterio se aplica también a $f'$ y $f''$.

Teniendo en cuenta que
- si una función es creciente y mayor a cero, su primer derivada es creciente y mayor a cero.
- si una función es decreciente y mayor a cero, su primer derivada debe ser creciente y menor a cero.
- si una función es creciente y menor a cero, su primer derivada debe ser decreciente y mayor a cero.
- si una función es decreciente y menor a cero, su primer derivada deber ser decreciente y menor a cero.

sale que una función definida para todo $R$ que cumpla la condición dada, no existe.

Comments

Las cuatro posibilidades que mencionas, esencialmente se reducen a que $f$ y $f''$ tienen el mismo signo, ¿por qué es así?

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Para usar el teorema del valor intermedio necesitarías continuidad de la tercera derivada. Lo que puedes concluir con tu argumento es que si una función cabia de signo, alguna de las otras también y en el mismo conjunto de puntos. La implicación que ninguna de las funciones cambia de signo no se mantiene con los argumentos expuestos.

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Guillermo: El teorema de Darboux dice que las funciones que son derivada de alguna otra función tienen la propiedad del valor intermedio, ¡aunque no sean continuas!

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Yo insisto: por ejemplo, la parte donde dice "si una función es creciente y mayor a cero, su primera derivada es creciente..." y otros tres enunciados cubriendo los demás casos, esencialmente está diciendo "$f$ y su segunda derivada tienen el mismo signo". Esto me suena plausible, pero no me parece trivial (y para funciones definidas, por ejemplo, en $[1,\infty)$ hay contraejemplos, por lo cual de alguna manera el hecho de que $f$ esté definido en todo $\mathbb R$ debe de jugar algún papel aquí), y quisiera saber cuál es el argumento relevante.