Yo insisto: por ejemplo, la parte donde dice "si una función es creciente y mayor a cero, su primera derivada es creciente..." y otros tres enunciados cubriendo los demás casos, esencialmente está diciendo "$f$ y su segunda derivada tienen el mismo signo". Esto me suena plausible, pero no me parece trivial (y para funciones definidas, por ejemplo, en $[1,\infty)$ hay contraejemplos, por lo cual de alguna manera el hecho de que $f$ esté definido en todo $\mathbb R$ debe de jugar algún papel aquí), y quisiera saber cuál es el argumento relevante.