Espacios y subespacios vectoriales

Question

Este es otro problema, pero esta vez de la asignatura de Álgebra Lineal. No sé cómo encontrar ese otro subespacio vectorial $W_{2}$ que se pide, y no entiendo la condición que se da, que debe ser $\mathbb{R^{3}}=W_{1}+W_{2}$ . Les solicito su ayuda, por favor.

Dado el subespacio vectorial $W_{1}= \left\{ \left(x, y, z \right) \in \mathbb{R^{3}}\ :\ x-y-z=0 \right\}$ de $\mathbb{R^{3}}$ ,  encontrar otro subespacio $W_{2}$ de tal manera que $\mathbb{R^{3}}=W_{1}+W_{2}$ .

Answer 1

Puesto que para cada $(x,y,z)  \in \mathbb{R}^{3}$ se cumple que

$(x,y,z) = (y+z,y,z)+(x-y-z,0,0)$

y además

$(y+z,y,z)\in W_{1},$

se sigue que $W_{2} = \{(w,0,0) \colon w \in \mathbb{R}\}$.

Comments

Oh, qué interesante, gracias por su ayuda. Pero tengo la siguiente pregunta:
¿Ese $w \in \mathbb{R}$ que aparece en $W_{2}$ es el $x-y-z$ que aparece en la descomposición de $\left(x, y, z\right)$, y entonces $x-y-z \in \mathbb{R}$? En ese caso mi duda sería por qué $x-y-z \in \mathbb{R}$. Espero se me pueda aclarar. Gracias.

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$x-y-z$ es un número real porque $x,y$ y $z$ son números reales.

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Oh, sí. Yo hice mal la pregunta. Entiendo que $x-y-z \in \mathbb{R}$ porque $x$, $y$ y $z$ son números reales. Así que mi duda es realmente si $x-y-z$ puede ser cualquier número real, ya que en su respuesta, $W_{2}$ ha quedado como $\left\{\left(w, 0, 0\right) : w \in \mathbb{R} \right\}$. Es decir, yo entiendo que $x-y-z$ es un número real, pero no entiendo por qué puede ser igual a cualquier número real, cualquier número real que se nos ocurra, sin importar cuál sea.

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Sea $r$ un número real fijo (pero arbitrario). Entonces, si haces $x=r$, $y=0$ y $z=0$ se tiene que $r=x-y-z$.

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Oh, sencilla manera de demostrarlo, tiene razón. Ahora sí, estoy completamente claro. Muchas gracias.

Answer 2

Voy a ser quisquilloso con la escritura del problema. Por definición, la suma de dos subespacios $W_1$ y $W_2$ es el conjunto de vectores de la forma $w_1 + w_2$ conforme $w_1$ recorre $W_1$ y $w_2$ recorre $W_2$. Por tanto, puedes tomar $W_2 = \mathbb{R}^3$.

Creo que el problema se vuelve más interesante cuando pides que la suma sea directa (cuando cada vector en la suma tiene una representación única, por lo que el espacio es algebraicamente isomorfo al producto cartesiano de los subespacios).

Answer 3

Concuerdo con Guillermo Martínez en la quisquillosidad: tal cual como está escrito, tomar $W_2=\mathbb R^3$ sería una respuesta correcta. Otra manera (diferente a la que sugiere Guillermo) de ponerle sabor al problema sería pedir que $W_2$ debe de tener dimensión uno. En este caso, dado que $W_1$ tiene dimensión dos, tomando cualquier vector $\vec{x}\notin W_1$ tenemos que el generado por $W_1\cup\{\vec{x}\}$ es todo $\mathbb R^2$, por lo cual basta tomar $W_2$ como el generado por $\vec{x}$. Cualquier $\vec{x}\notin W_1$ sirve, por ejemplo, $\vec{x}=(2,1,0)$.

Answer 4

W1 es el subespacio genreado por el plano cuya ecuacion normal es x-y-z=0, o <(x,y,z),(1,-1,-1)>=0, que pasa por el origen, es decir es el plano perpendicular al vector (1,-1,-1), lo que te piden, entonces, es el subespacio tal que W1 +W2 genere a R^3, que debe ser?