Subespacios vectoriales

Question

Mostrar que $\{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f$ $es$ $continua$ $y$ $0=\int_{0}^{1} f  \}$ es subespacio de $\mathbb{R}^ \mathbb{R}$ .

Mi mayor duda sobre este ejercicio es ¿A que espacio denota $\mathbb{R} ^ \mathbb{R}$ ?

Les agradezco su ayuda de antemano.

Answer 1

Puedes pensar un punto de $\mathbb{R}^n$ como una función que asigna un real a cada una de $n$ coordenadas. Siguiendo la analogia, piensa en un punto de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ como una función que asigna un real a cada natural. Esto es equivalente a una secuencia.

Finalmente, piensa en tu espacio, $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$. No es otra cosa que el espacio de todas las funciones reales en $\mathbb{R}$ (no necesariamente continuas, solo funciones).  Pero no te apures... el hecho de que la notacion sea clara y precisa no le quita lo pretencioso. Cuando es necesario usar simbolos, que se usen; pero aqui seria mejor escribir "el espacio de todas las funciones reales en $\mathbb{R}$" y evitar la confusión del lector.

Comments

Entiendo, muchas gracias.