Vectores con los mismos productos internos

Question

Tiene tiempo que no pregunto nada, así que aquí les dejo una bastante básica de álgebra lineal:

Sea $V$ un espacio euclidiano (es decir, un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ con producto interno) y denotemos por $\langle\cdot,\cdot\rangle$ su producto interno. Sean $x,y\in V$ tales que $\langle x,z\rangle=\langle y,z\rangle$ para todo $z\in V$. Demuestre que $x=y$.

Answer 1

Sabemos que $x,y\in V$ arbitrarios y:

$\left \langle x,z \right \rangle=\left \langle y,z \right \rangle, \forall z\in V$

Por la bilinealidad del producto interno:

$\left \langle x-y,z \right \rangle=0, \forall z\in V$

Más aún sabemos que si $\alpha\in V$ arbitrario pero fijo cumple que:

$\left \langle \alpha,z \right \rangle=0, \forall z\in V$

Entonces $\alpha =\overrightarrow{0}$, ya que si tomamos $z=\alpha$ tendríamos un vector con norma cero, y el único vector con norma cero es el vector cero.

De esto se sigue que: $x-y=\overrightarrow{0}$

Entonces:

$x=y$