Si bien no puedo proporcionar una respuesta completa, nota que cuando tienes $G\subseteq M$ un subgrupo, la identidad $e_G$ de $G$ satisface que
$e_G\cdot e_G=e_G$. En otras palabras, todo subgrupo determina un elemento idempotente --en particular, para magmas (que yo conocía como "grupoides") que no tienen idempotentes, la respuesta es 0.
Otro ejemplo (que no tiene mucho que ver con la observación anterior) es el magma $(\mathbb R^3,\times)$: éste tiene exactamente un subgrupo (aquél que consta únicamente de $(0,0,0)$).