¿Cuántos subgrupos independientes puede tener un magma?

Question

DEFINICIONES BÁSICAS: Un magma es una pareja $(M,\cdot)$ donde $M$ es un conjunto y $\cdot$ una operación binaria en $M$. Un elemento $x\in M$ es idempotente si $x^2:=xx=x$. Un submagma de $M$ es un subconjunto $N$ que es cerrado bajo la operación $\cdot$. Un subgrupo de $M$ es un submagma $G$ donde la operación $\cdot$ satisface los axiomas de grupo, es decir $a(bc)=(ab)c$ para todos $a,b,c\in G$, existe $e\in G$ tal que $xe=ex=x$ para todo $x\in G$ y para todo $x\in G$ existe $x^{-1}\in G$ tal que $xx{⁻1}=x^{-1}x=e$.

Sea $(M,\cdot)$ un magma con un único elemento idempotente $e$. Decimos que dos subgrupos $H,H'$ de $M$ son dependientes si existe un subgrupo $G$ de $M$ que contiene a $H$ y $H'$ como subgrupos. Si dos subgrupos no son dependientes decimos que son independientes

Como $e$ es el único elemento idempotente de $M$, debe estar en todos los subgrupos de $M$ y en todos debe ser la identidad.

Dado $n\in \mathbb{N}$ ¿Cuál es la mayor cantidad de subgrupos independientes dos a dos que puede tener un magma de orden $n$?

Por ejemplo, si consideramos las unidades de los octoniones $Q_8=\{\pm 1,\pm i, \pm j, \pm k,\pm t,\pm it,\pm jt,\pm kt\}$ donde $t$ es el elemento duplicador en la construcción de Cayley-Dickinson (para quienes eso quiera decir algo), $Q_8$ tiene 7 subgrupos indepentientes dos a dos (todos son isomorfos a $Q_4$, el grupo de unidades de los cuatrerniones).

Esta pregunta es una versión quizás más posible de la pregunta que hice antes aquí:
http://irracional.org/index.php/6325/cuantos-subgrupos-puede-tener-un-magma

Comments

Algunas pequeñas aportaciones. Si tomas un conjunto $M$ de cardinalidad $n$ y tomas un elemento $e\in M$ puedes definir la operación dada por $ae=ea=a$ para toda $a\in M$ y $ab=e$ siempre que $a,b\neq e$. Este magma tendrá a $e$ como único nilpotente y todos sus subgrupos serán de la forma $\{e,a\}$ (al tener dos elementos $a,b$ distintos de $e$ se tendría que $a^2 b=eb=b$ y $a(ab)=ae=a$, por lo que no sería asociativo). Por lo tanto $M$ tendría $n-1$ subgrupos independientes. ¿Será éste el máximo?

Sea $(M,\cdot)$ un magma único idempotente $e$ con $k$ subgrupos independientes dos a dos. Sea $N$ la unión de los subgrupos de $M$. Definamos $a*b=ab$ si $a,b\in N$, $a*e=e*a=a$ si $a\in M\setminus N$ y $a*b=e$ si $a,b\in M\setminus N$ y $a\neq b$. $(M,*)$ tiene entonces $k+|M|-|N|$ subgrupos independientes, por lo que si $k$ es máximo se tiene que tener $M=N$, es decir, todo elemento está en algún subgrupo.