Demostración de Geometría sobre Planos

Question

Necesito realizar la siguiente demostración. Les pido su ayuda, por favor:

Sea $r$ la recta de intersección del plano $P$ y el plano $Q$, y sea el plano $Q^{\prime}$ un plano paralelo al plano $Q$. Demostrar que el plano $P$ y el plano $Q^{\prime}$ se intersectan en una recta $r^{\prime}$ paralela a la recta $r$.

Comments

¿Nadie es capaz?

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Este es de esos problemas donde en realidad la dificulta está en cómo están definidas las cosas. Por ejemplo, si los planos están dados por ecuaciones lineales es más o menos fácil encontrar una ecuación paramétrica para $r$ y para $r'$ y luego comparar sus vectores dirección.

Por otro lado ¿qué quiere decir que dos rectas sean paralelas en el espacio? Si por ejemplo, solo quiere decir que no se intersectan, entonces el problema es más bien un problema de combinatoria, pues un punto en la intersección de $r$ y $r'$ es un punto tanto en $Q$ como en $Q'$.

Medio estoy divagando, la parte importante de mi comentario es que seguro el problema se reduce a ver las definiciones de los objetos.

Answer 1

Hola Alex. El problema puede demostrarse con geometría descriptiva. 

Para tener una idea, imagina que tienes 3 planos paralelos entre sí Q_1, Q₂, y Q₃. Ahora imagina un plano P, el cual se denomina plano secante. Hay un teorema que dice, si un plano secante atraviesa varios planos que son paralelos entre sí, todas las líneas de intersección serán paralelas entre sí. Si todos los planos se proyectan o visualizan como líneas rectas, se comportan de manera análoga al teorema de Tales en geometría plana; sólo que la pregunta debes enfocarla a la geometría tridimensional.

No soy Matemático, pero es una idea que puede servirte.