Encontré una respuesta a mi propia pregunta.
Sea $X$ un conjunto infinito y sea $p\in X$. Definamos los cerrados en $X$ como $X$, el vacío y todos aquellos conjuntos finitos que contienen a $p$. Se puede verificar que ésta es en efecto una topología. Como todos los cerrados no vacíos tienen a $p$, se intersectan, así que $X$ es ultra-conexo. Como $X$ es infinito todos los abiertos propios también se intersectan (son conjuntos cuyo complemento es finito y contiene a $p$), por lo tanto $X$ es hiper-conexo. Se puede verificar que el orden de especialización está dado por $x\leq y$ sii $x=y$ o $y=p$, por lo que claramente es dirigido desde arriba pero no desde abajo (basta tomar dos puntos distintos de $p$).