Transformación lineal con bases de salida y llegada iguales pero diferentes a la canónica.

Question

Ejercicio:
T : R^2 -> R^2; T(x, y) : (4x - y, 3x + 2y); B1 = B2 = {(-1,1);(4,3)}

Lo que yo hice fue hallar la imagen de las bases y luego escribirlas como combinación lineal.

(-1,1) -> (-5,-1) = a1*(-1,1) + a2*(4,3)
(4,3) -> (13,18) = b1*(-1,1) + b2*(4,3)

Eso esta bien? O debería partir por la base canónica, sacar su imagen y escribirla como combinación lineal?

PD: Si al sacar el núcleo de T tenemos x = 0, y = 0. Cual es la dimensión del núcleo? 0?

Comments

La dimension del espacio reducido a cero es cero; esto es, la dimension de $\{0\}$ es cero (por convenio, el vacío -que tiene cero elementos- genera el espacio vectorial cero)

Answer 1

Quieres encontrar $[T]_{\mathrm{B}_1}^{\mathrm{B}_2}$ la matriz que representa a $T$ de modo que «come» vectores expresados en coordenadas de la base $\mathrm{B}_1$ y «regresa» vectores expresados en coordenadas de la base $\mathrm{B}_2.$ Algorítmicamente, si $Tv_1 = av_1 + bv_2$ y $Tv_2 = cv_1 + dv_2$ entonces $[T] = \left[\begin{matrix} a &b \\c &d\end{matrix}\right],$ donde la base ordenada dada es $(v_1, v_2).$