Espacio topológico

Question

Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y sea $\mathcal{B}$ una base para dicha topología. Muestre que si $U\in \tau$, entonces $U$ es la unión de elementos de $\mathcal{B}$.

Hola, de que manera podemos enfrentar este problema?

Comments

Depende de tu definición de base. La mía reza precisamente así: $\mathscr{B}$ es base de una topología $\mathscr{D}$ si la intersección de dos subconjuntos de $\mathscr{B}$ es unión de conjuntos de $\mathscr{B}.$ (Y entonces, $\mathscr{D}$ queda definida como el conjunto de las uniones -arbitrarias- de elementos de $\mathscr{B}$).

Answer 1

Usa tu definición de abierto ($U$ es abierto si para todo $x\in A$ existe $B\in\mathcal{B}$ tal que $x\in B\subseteq U$) para construir una familia de básicos indexada por los puntos de $U$. Prueba que la unión de esta familia es $U$ haciendo las dos contenciones.