¿A todo espacio vectorial (infinito dimensional) se le puede dar una norma?

Question

¿Cómo se le puede asociar una norma a cualquier espacio vectorial (sin importar la dimensión del espacio) aunque esta norma no esté dada por un producto interior?

Answer 1

Sí, simpre puedes considerar la norma "infinito". Sea $E$ un espacio vectorial y $ (b_{\alpha})_{\alpha \in A} $ una base ( siempre existe si asumimos el axioma de elección). Esto significa que todo elemento $x\in E$ se puede escribir de manera única como

$$ x = \sum_{\alpha \in A} x_\alpha b_\alpha $$

Donde solo para una cantidad finita de indices $x_\alpha \not = 0$.

Entonces podemos definir la norma del máximo ( o norma infinito)

$$ \| x\|_\infty := max_{\alpha \in A} | x_\alpha | $$

Demostrar que es norma es practicamente lo mismo que demostrar que la norma del maximo es una norma en $\mathbb R^n$.

(otra forma es  notar que para $x, y \in E$ te puedes restringir al espacio vectorial generado por los elementos de la base que forman $x, y$ el cual es de dimension finita).

Answer 2

Sí. Es más o menos clásico que para cada cardinal, existe uno (salvo isomorfismo de espacios hilbertianos) y solo un espacio hilbertiano con base hilbertiana de cardinalidad el cardinal dado. Te recomiendo "Real Analysis and Probability" poo Robert B. Ash, sección 3.2 (teorema 3.2.15 aquí muestra que cualesquiera dos espacios hilbertianos con base de misma cardinalidad son hilbertianamente isomorfos) y ejemplo 2.4.12 (aquí es donde construye un espacio hilbertiano con base hilbertiana de cardinalidad arbitraria).

Comments

el cardinal de una base hilbertiana no es necesariamente la dimension del espacio, por ejemplo $L^2(0,1)$ tiene una base de Hilbert numerable, sin embargo, al igual que cualquier espacio de Banach de dimension infinita, la dimension no puede ser numerable( por el teorema de Baire). Asi que esto no responde realmente la pregunta.

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Si la responde. Si $B$ es base, declaras cada vector ahi unitario y cada par de vectores distintos ortogonal. Todo elemento se escribe de manera unica como combinacion lineal de elementos de $B,$ por lo que su norma queda determinada por la ley de Pitagoras. (Creo que esto solo define una estructura prehilbertiana)

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Estimado Guillermo, la construccion que propones en el ultimo comentario ciertamente funciona, pero no es lo mismo que describes en la respuesta( por ejemplo, B no sera una base de Hilbert)