Transformaciones de Möbius

Question

Tengo dos circunferencias en el plano, una dentro de la otra y con distinto centro, ¿Existe una transformación de Möbius que transforme estos círculos en círculos concéntricos?

Answer 1

Si.

Primero cambia coordenadas para que la linea que une los centros sea el eje real (rotación y traslación). Expande y traslada para que el círculo exterior pase por $-1,1$. el interior pasa por los puntos $p_1 < p_2 \in \mathbb{R}$.

Una transformación de Möbius $T$ tiene coeficientes reales si y solo si preserva el eje real (y por tanto la ortogonalidad con los círculos). Si pides que mantenga $-1,1$ fijos, entonces preserva todo el círculo exterior, y todavia tienes un parámetro para jugar (pues $T$ está definida por la imágen de 3 puntos). Usa el tercer parámetro para mover el círculo interior. La condición $T(p_1) = -T(p_2)$ (junto con $T(\pm 1) = T(\pm 1)$ y coeficientes reales) es lineal (verifica), así que tiene solución.