calculo diferencial

Question

Un pueblo que tenía 15.000 personas, no tiene
hoy más que 6.561. La disminución anual ha sido la quinta
parte de los habitantes. ¿Cuántos años hace que tenía
10.000 personas dicho pueblo?

Answer 1

Si la población disminuye en una quinta parte para los próximos años habrá 4/5 partes de la población anterior, hay varias formas de abordar el problema, podrías hacer una pequeña lista o tabla, al primer año habrá (4/5)15000=12000, en el segundo (4/5)12000=9600, en el tercero, (4/5)9600=7680, en el cuarto (4/5)7680=6144. Eso quiere decir que van casi cuatro años desde que había 15000 habitantes y hace aproximadamente dos años que había 10000.
Esta es una manera de verlo y hay otras, sugiero que escribas o intentes identificar el tema específico que estas tratando para poder entender como se desea que se resuelva.

Comments

muchas gracias por la respuesta

Answer 2

Lo puedes hacer generando una función exponencial y luego integrando. Pero hay un modo mucho más simple usando funciones lineales. Como el comportamiento de tu función es exponencial, podemos convertirla a linal obteniendo el logaritmo de la respuesta poblacional. 

Tienes que la población está en función del tiempo, de modo que de tus datos tenemos:

Crecimiento

Año	Pob	Incremento	Ln(Pob)
1	15000
2	12000	-3000	9.39
3	9600	-2400	9.16
4	7680	-1920	8.94
5	6144	-1536	8.72

 

 

Ahora ya está la solución, sabemos que Pob=m(Año)+b segùn la expresión de la recta. 

Puedes corroborar para cualquier par de años ai y poblaciones ln(Pobi) que In(Pobk-Pobl)/(ak-al) con l>k, que la pendiente es m=-0-2231. Del mismo modo podras corroborar que la absisa al origen b=9.83

Luego

(Ln(10000)-9.83))/(-0,2231)=2.81

Osea, en el año 2.81 tenìa 10,000 habitanes. Si aplicas la misma expresión de la recta pro en vez de ln(10000) calculas ln(6561) apreciarás que el resulado es 4.7, es decir la fecha actual. Por lo tanto hace 4.7-2.81=1.89 años el pueblo tenía 10000 habitantes. O lo que es lo mismo hace 689 días. Y ya.