Determinar las componentes conexas de un grupo cociente.

Question

Considera un grupo topológico $G,$ $K$ su «componente identidad» (es decir, la componente conexa del elemento neutro), $H$ un subgrupo (no necesariamente normal o distinguido) de $G$ de tal modo que $H \subset K.$ Considera el espacio homogéneo de clases a derecha por $H$ denotado por $G/H;$ esto es, $G/H$ es el espacio topológico cociente mediante la relación de equivalencia «$x \sim y$ es equivalente a $xH = yH.$» La función canónica $G \mapsto G/H$ dada por $x \mapsto xH$ es continua y, por tanto, la imagen ante ella de cualquier componente conexa de $G$ es una parte conexa del espacio homogéneo. Demostrar que, de hecho, estas son las componentes conexas del espacio homogéneo. Esto es, demostrar que todas las componentes conexas de $G/H$ son las imágenes de las componentes conexas de $G$ ante la función canónica mencionada antes.

Comments

Estoy bastante seguro que alguien había hecho esta misma pregunta antes.