¿Es la función modular integrable?

Question

Considera un grupo topológico localmente compacto¹ (también metrizable y separable si es que hiciera falta), denótalo por $\mathrm{G}.$ Ante estas condiciones existe la función modular $\Delta:\mathrm{G} \to \mathbf{R}_+^*.$ Es decir, la función modular es el único homomorfismo continuo tal que para cada medida de Haar $\beta$ en $\mathrm{G}$ y cada traslación a derecha $\delta(x)$ ($\delta(x)(s) = xs^{-1}$) la medida imagen $\delta(s) \beta$ de $\beta$ por $\delta(s)$ coincide con $\Delta(s) \beta.$

¿Es $\Delta$ una función integrable respecto a cualquier medida de probabilidad?

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1. Compacto significa que satisface el «axioma de Borel-Lebesgue» (cada cubierta abierta tiene una subfamilia finita que sigue siendo cubierta abierta) y el «axioma de Hausdorff» (el conjunto diagonal en el espacio producto es un subconjunto cerrado de este, equivalentemente, cada dos puntos distintos del espacio tienen sendas vecindades abiertas ajenas).

Answer 1

No en general. Pues existen grupos $\mathrm{G}$ tales que $\Delta(\mathrm{G}) = (0, \infty)$ y, por tanto, uno puede considerar elementos distintos $(g_n)$ en $\mathrm{G}$ de modo que $\Delta(g_n) \geq 2^n$ y definir $\mu = \sum \dfrac{\varepsilon_{g_n}}{2^n},$ en donde $\varepsilon_x$ denota la medida positiva de masa total 1 en $x \in \mathrm{G}.$ Que triste verdad.