Como se resuelve este problema de números combinatorios

Question

$\binom{n}{0}+\binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n}$

Answer 1

Puedes adivinar la respuesta mediante experimentos.

Si $n=1$, la suma es $\binom{1}{0}+\binom{1}{1} = 2$.

Si $n=2$, la suma es $\binom{2}{0}+\binom{2}{1} + \binom{2}{2} = 1+2+1 = 4$.

Si $n=3$, la suma es $\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3} = 8$.

Si $n=4$, ¿a cuánto crees que sea igual la suma?

Ya que tengas una conjetura puedes intentar establecerla mediante inducción matemática. O también podrías hacerlo desarrollando $(1+1)^{n}$ mediante el teorema del binomio.