Demostrar que $\sigma(\sigma\cal{(A)})=\sigma\cal{A}$

Question

Considere las clases $\cal{A,B}$ de un conjunto $X$. Demuestre que:

1. $\sigma(\sigma\cal{(A)})=\sigma\cal{A}$

2. Si $\cal{A}\subset\sigma\cal{(B)}$ y $\cal{B}\subset\sigma\cal{(A)}$, entonces $\sigma\cal{(A)}=\sigma\cal{(B)}$

Comments

¿qué denota $\sigma$?

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https://es.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-%C3%A1lgebra

Pero ya resolvi este problema

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Entonces no sería mala idea que tú mismo escribas una respuesta aquí, para que cualquiera que esté interesado en la misma pregunta pueda ver la respuesta.

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Sol. 1: podemos decir que $\sigma( \sigma\cal{(A)})$ es intersección de toda $\sigma$-álgebra que contiene a $\sigma\cal{(A)}$, por lo que $\sigma\cal{(A)}\subseteq\sigma(\sigma\cal{(A)})$ y $\sigma(\sigma\cal{(A)})$ es un $\sigma$-álgebra. También $\sigma\cal{(A)}$ es una $\sigma$-álgebra que contiene a $\sigma\cal{(A)}$, entonces $\sigma(\sigma\cal{(A)})\subseteq\sigma\cal{(A)}$. Así $\sigma(\sigma\cal{(A)})=\sigma\cal{(A)}$

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Sol. 2: Como $\cal{A}$ y $\cal{B}$ son dos clases de subconjuntos de $X$, entonces $\cal{A}\subset\sigma\cal{(B)}$ implica que $\sigma\cal{(A)}\subset\sigma\cal{(B)}$; de la misma forma $\cal{B}\subset\sigma\cal{(A)}$ implica que $\sigma\cal{(B)}\subset\sigma\cal{(A)}$. Esto demuestra que $\sigma\cal{(A)}=\sigma\cal{(B)}$