Una de grupos finitos

Question

Sea $G$ un grupo de orden $2n$, donde $n$ es impar. Supóngase que $G$ tiene un subgrupo $H$ de orden $n$ tal que para todo $x\in G\setminus H$ y para todo $h\in H$ se cumple que $xhx^{-1}=h^{-1}$. Demuestre que $H$ es abeliano y que cada $x\in G\setminus H$ tiene orden $2$.

Answer 1

La función $H \to H$ dada por $h \mapsto h^{-1}$ es un homomorfismo de grupos puesto que fijando un $x \in G \setminus H$ se puede escribir como $h \mapsto xhx^{ -1}$ que es (una restricción de) una conjugación. Que $h \to h^{-1}$ sea homomorfismo ya implica que $H$ es abeliano: $h_2^{-1} h_1^{-1} = (h_1 h_2)^{-1} = h_1^{-1} h_2^{-1}$.

Como $H$ tiene índice dos, es normal, así que $G/H$es un grupo y tiene dos elementos. Por lo tanto, dado $x \in G \setminus H$, tenemos $x^2 = 1$ en $G/H$, o sea, que $x^2 \in H$. Sustituyendo $h$ por $x^2$ en $xhx^{-1}=h^{-1}$, obtenemos que $x^2=x^{-2}$, de donde el orden $k$ de $x$ es un divisor de $4$. Como $k$ también divide al orden de $G$, $2n$, tenemos que $k$ es divisor de $\mathrm{mcd}(2n,4)=2$, como queríamos.

El último paso, calcular el máximo común divisor, usa que $n$ es impar. Inicialmente se me había olvidado esa hipótesis y escribí lo que sigue:

"Lo que cada $x \in G \setminus H$ tiene orden $2$ es falso. Considera el ejemplo del grupo de los cuaternios $G = \{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ (con $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$) y $H = \{\pm 1, \pm i\}$. Verfiquemos que se cumple lo de que $x h x^{-1} = h^{-1}$: (a) si $h = \pm 1$ es claro que $xhx^{-1} = h = h^{-1}$, (b) los demás casos son todos análogos, tomemos solo $x=j$, $h=i$: $xhx^{-1} = ji(-j) = -jij = -jk = -i = h^{-1}$. Los elementos de $G \setminus H = \{ \pm j, \pm k\}$ tienen orden $4$."

Desde luego, en ese ejemplo $n=4$. Lo dejo porque prueba que la hipótesis de que $n$ es impar es necesaria.

Comments

Pero $H$ debe tener orden impar

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¡Ja, perdón, se me olvidó! Gracias, Iziro.

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Sí, una parte crucial del asunto es que $n$ es impar.