¿Cuál es una ecuación para una superficie compacta y orientable?

Question

Pregunta para jóvenes:

Toma un entero $g \geq 1$. Considera el siguiente polinomio:

$$P(x,y,z) = z^2 + \prod_{n=0}^{g-1} (y^2 + (x - 2n +1)^2 - 1 )^2.$$

• Demuestre que existe $\delta >0$ tal que, para todo $\epsilon \in (0,\delta)$, $\epsilon$ es un valor regular de $P$.
• Demuestre que $P^{-1}(\{0\})$ es difeomorfo a la superficie de género $g$, compacta, orientable y lisa.

Observe que, entonces $P^{-1}( [0, \epsilon ] )$, con $\epsilon \in (0,\delta)$, es un $3-$disco con $g$ asas (handle body de género $g$).

Sugerencia: cuando $z=0$ el polinomio define una familia de $g$ círculos uno tangente después del otro.