Puntos fijos de una involucion de una variedad es una subvariedad

Question

Sea $M$ una variedad lisa y $f:M\rightarrow M$ una involucion, es decir, $f^2 = id_M$. Son las componentes conexas del conjunto de puntos fijos de $f$ subvariedades lisas de $M$?

Es facil encontrar una prueba usando metodos de geometria Riemanniana. Mi pregunta es, si existe una prueba que use solo metodos de topologia diferencial.

Observacion: la dimension de las subvariedades puede variar entre componentes conexas distintas.

Comments

La respuesta de Adolfo es muy bonita. De hecho vale para cualquier accion diferenciable de un grupo de Lie. Pero... :¿si la involución NO es diferenciable?
Por ejemplo dos "esferas con cuernos" de Alexander pegadas en su frontera. Por un teorema de H.R. Bing es la 3-esfera

Answer 1

En una carta, en la vecindad de un punto fijo $p$, consideramos la función

$$\Phi=\frac{1}{2}\mathrm{I}+\frac{1}{2}Df(0)f.$$

Tenemos que

$$Df(0)\circ \Phi \circ f=\Phi.$$

O sea, en la coordenada $\Phi$, la acción es lineal y dada por $Df(0)$. Como el conjunto de puntos fijos de una involución lineal es un subespacio lineal, el conjunto de puntos fijos es una subvariedad.

Más generalmente, si $g_1,\ldots g_n$, forman un grupo transformaciones (locales) diferenciables de $\mathbf{R}^n$ que fijan el cero y si definimos

$$\Phi=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Dg_i(0)g_i^{-1},$$

tenemos que para todo $i$, $Dg_i(0)^{-1}\circ\Phi\circ g_i=\Phi$, lo que implica que en la coordenada $\Phi$ la acción es lineal. Entonces, más generalmente, si un grupo finito actúa diferenciablemente en una variedad, el conjunto de sus puntos fijos es una subvariedad.

El mismo teorema de linealización vale para acciones diferenciables de grupos de Lie compactos. Es el Teorema de Bochner-Cartan. 

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Muy bonita demostración. Es en el mismo espíritu que la prueba con geometría riemanniana (tomar un promedio de la acción del grupo) pero sin usar una métrica riemanniana. Sabes de quien es? De Bochner o de Cartan?