Question

qué es a grandes rasgos una variedad?

Answer 1

A grandes rasgos, es un espacio topológico (si quieres saber qué es a grandes rasgos un espacio topológico, me avisas y lo pongo) que "localmente" se parece mucho a alguno de los $\mathbb R^n$. Esto es, para cada punto de nuestra variedad, una vecindad del punto es "homeomorfa" (es decir, topológicamente equivalente), o incluso "difeomorfa" (es decir, la transformación correspondiente es diferenciable) (en el último caso decimos que la variedad es "suave") a algún $\mathbb R^n$. Nótese que tiene que ser el mismo $n$ que funcione para todos los puntos de la variedad.

Answer 2

También están las variedades algebraicas, que no siempre coinciden con el tipo de variedad de la que David habla; ejemplo de esto es el cono doble.

Una variedad algebraica es un espacio topológico que le asocias a una familia de objetos algebraicos (ecuaciones o ideales de un anillo).

Comments

Tienes toda la razón, se me olvidó que existían variedades algebraicas (vi "variedad" y de inmediato me imaginé en inglés "manifold" y no "variety"). Tu explicación se me  hace un tanto abstracta (aunque sé que es correcta), quizá para un principiante sea más fácil entender el caso particular de las variedades afines: es simplemente el conjunto solución de un polinomio, es decir, se trata de un concepto que generaliza y unifica cosas como las rectas, las cónicas, y demás.

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:P Sí, es que leí "a grandes razgos" y eso lo entendí como: "no me expliques formalmente" :P