Question

Toda aplicación holomorfa definida en una variedad compacta es constante?

Answer 1

No, por ejemplo, la identidad $\mathbb{CP}^n \to \mathbb{CP}^n$ no es constante. :)

Lo que sí es cierto es que cualquier función holomorfa $f : X \to \mathbb{C}$, donde $X$ es una variedad compleja compacta y conexa, es necesariamente constante (la clave es que el codominio es $\mathbb{C}$). Esto se puede probar usando variable compleja (aún en el caso de que $X$ sea de dimensión mayor a uno):

Como $X$ es compacta, $|f| : X \to \mathbb{R}$ alcanza su máximo en algún punto $x_0 \in X$. Tomemos una carta homolomorfa $\phi : U \to X$ donde $\mathbf{0} \in U \subset \mathbb{C}^n$, $\phi(0) = x_0$ (aquí $n = \dim X$). Entonces, para cada vector $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$, la función $g_\mathbf{v}(z) := f(\phi(z\mathbf{v}))$ está definida en una vecindad de $0 \in \mathbb{C}$, es holomorfa y $|g_\mathbf{v} |$ alcanza su máximo en $z=0$. Por el principio del módulo máximo, $g_\mathbf{v}$ es constante en una vecindad del 0. Como esto ocurre en toda dirección $\mathbf{v}$, concluímos que $f$ misma es constante en una vecindad de $x_0$. Por continuación analítica, $f$ es constante es toda la componente conexa de $x_0$.