Ángulo constante entre vector tangente y alguna recta dada.

Question

Sea $I\subseteq{\mathbb{R}}$ y $\alpha:I\rightarrow \mathbb{R^3}$ una curva regular, además de clase $\mathcal{C}^2$.

Entonces

¿Dada una recta $l\in{\mathbb{R^3}}$ existe algún punto $x\in{\alpha(I)}$ y una "vecindad" del punto $x$ tal que para todo punto de la "vecindad", la recta $l$ y el vector $\alpha'$ formen ángulo constante?

Comments

Tu curva $\alpha$ ¿Es de clase $\mathcal{C}^2$? Para ver si se puede como estoy pensando

---

La podemos suponer desde luego de clase $\mathcal{C}^2$, de hecho estaba pensando añadirlo a la hipótesis.

Answer 1

Lo que haré es caracterizar las curvas que si cumplen con esta condición.

Sea $U$ la vecindad del punto $x$ donde el ángulo entre $x$ y $l$ son constantes. Podemos elegir un sistema coordenado adecuado para que la recta $l$ coincida con el eje Z. También, supongamos que $\alpha$ está parametrizada por su longitud de arco, entonces $\|\alpha^{\prime}(t)\|=1$ para todo $t\in I$.

Ahora, el ángulo formado por el eje Z y la curva ${\rm Im}\ \alpha$ está dado por $\arccos \left<\alpha^{\prime}(t),e_3\right>$, donde $e_3=(0,0,1)$. Como tal ángulo es constante, entonces $\left<\alpha^{\prime}(t),e_3\right>=c$ para algún $c\in\mathbb{R}$. Luego, por la regla de Leibniz tenemos la igualdad $\left<\alpha^{\prime\prime}(t),e_3\right>=0$ y así, el vector normal a $\alpha$ en el instante $t\in U$ es perpendicular a $e_3$.

Recíprocamente, si el vector normal a $\alpha$ en $t\in U$ es perpendicula a $e_3$ se sigue que el ángulo entre $\alpha^{\prime}(t)$ y $e_3$ para $t\in U$ es constante.

Comentario adicional: un ejemplo de este tipo de rectas es la cúbica torcida $(3t,3t^2,2t^3)$ con la recta $(t,0,t)$; aquí, el vector tangente a $\alpha$ forma un ángulo de $\tfrac{\pi}{4}$ con la recta. También, una hélice circular recta $(a\cos\tfrac{t}{\sqrt{a^2+b^2}},a{\rm sen}\ \tfrac{t}{\sqrt{a^2+b^2}},b\tfrac{t}{\sqrt{a^2+b^2}})$ con el eje Z; en este caso, el vector tangente a $\alpha$ forma un ángulo de $\arccos \tfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ con la recta.

Comments

Supongo que aplicas algunas rotaciones adecuadas a la recta, pero de igual manera tienes que aplicar las mismas rotaciones a la curva $\alpha$, perdón y la cúbica torcida en que intervalo haría eso, porque por ejemplo para $t=0$ si marca $\frac{\pi}{4}$ pero en $t =1$ marca como 40°, amenos que este haciendo los cálculos mal,  de casualidad no será la curva $(3t,3t^2,2t^3)$ esa si forma una ángulo de $\frac{\pi}{4}$ con la recta $(t,0,t)$.

---

Tienes razón Iziro, lo corrijo de inmediato

---

Muy bien Enrique solo quiero agregar que la cúbica torcida es justo la que borraste.
Por lo demás muy bien tu resolución. No se tu pero a mi me parece un problema muy interesante.