Ecuación con curvatura

Question

Hola:

Supongamos que $\alpha$ es una curva cerrada simple regular suave en $\mathbb{R}^2$ que satisface

$\kappa + \dfrac{\alpha\cdot N}{2} = 0$,

donde $N$ representa al vector normal. Debo demostrar que $\alpha$ es un círculo de radio $\sqrt{2}$. 

Podemos suponer que está parametrizada por longitud de arco porque la curvatura y el vector normal no dependen de la parametrización. 

Una primera idea es despejar

$\kappa = -\dfrac{\alpha\cdot N}{2}$

y derivar para obtener

$\kappa'(t) = -\dfrac{\alpha'\bullet N + \alpha\bullet N'}{2} = \dfrac{\kappa \alpha\bullet\alpha'}{2}$,

de donde podemos tener

$\dfrac{\kappa'}{\kappa} = \dfrac{d}{dt}\dfrac{|\alpha|^2}{4}$

al menos donde la curvatura no se anule e integrando

$\kappa(t) = C\exp\left(|\alpha|^2\right)$.

Pero no tengo idea como esto me ayuda a demostrar que $\kappa$ es constante o bien que $|\alpha|^2$ es constante. 

Por otra parte, podemos considerar la ecuación $F(t) = |\alpha(t)|^2$ y tratar de demostrar que su derivada es cero. Derivando esta ecuación obtenemos que

$G(t) = F'(t) = 2\alpha\bullet\alpha'$

y derivando de nuevo tenemos

$G'(t) = 2 + 2 \alpha\bullet\alpha'' = 2 + 2\kappa (\alpha\bullet N) = 2 - 4\kappa^2$

La última igualdad es usando la hipótesis. Es decir que

$G'(t) + 4\kappa^2 = 2$,

o cual se ve muy bien si puedo demostrar que $G'(t) = 0$ pero no se como (además, de allí sale que la curvatura es $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ que me da el radio deseado). No se qué más hacerle, no se me ha ocurrido nada nuevo. ¿Alguna sugerencia de cómo acabar?